高一数学篇：平面向量的基本定理​（必修2）

平面向量基本定理是高中数学必修2中的一个重要知识点，它揭示了平面向量的基本性质，为后续向量运算和应用奠定了基础。这个定理告诉我们：在同一个平面内，如果存在两个不共线的向量e1和e2，那么这个平面内的任何向量a都可以唯一地表示为e1和e2的线性组合，即a=λ1e1+λ2e2，其中λ1和λ2是实数。

这个定理的关键在于“唯一性”和“基底”的概念。所谓“唯一性”，是指对于给定的向量a和基底{e1,e2}，表示a的实数对(λ1,λ2)是唯一的。而“基底”则是指两个不共线的向量e1和e2，它们可以用来表示这个平面内的所有向量。

以一个具体的例子来说明这个定理的应用。假设在平面直角坐标系中，向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，那么任何向量a(x,y)都可以表示为a=xe1+ye2。例如，向量a=(3,4)可以表示为a=3e1+4e2。这个例子中，e1和e2构成了一个标准的基底，而(3,4)就是向量a的坐标。

平面向量基本定理在坐标表示中有着重要的应用。当我们建立了直角坐标系后，就可以用坐标来表示向量。例如，向量a=(3,4)的模长|a|可以通过勾股定理计算得到：|a|=√(3²+4²)=5。向量的加减法也可以通过坐标来表示：如果a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，那么a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2,y1-y2)。

此外，平面向量基本定理还为我们提供了一种分析和解决问题的工具。例如，在解决某些几何问题时，我们可以将向量表示为基底的线性组合，然后利用向量的性质来简化问题。这种方法不仅直观，而且能够帮助我们更好地理解几何图形的内在联系。

总的来说，平面向量基本定理是连接几何与代数的桥梁，它为我们提供了一种用代数方法处理几何问题的工具。掌握这个定理，不仅有助于我们更好地理解向量的概念，还能为后续学习空间向量、线性代数等更高级的数学知识打下坚实的基础。