这个绝世难题被证明30年了

一个看似简单的极其复杂问题
在数学的世界里，有许多表述简单的问题，其解决过程却异常艰难， 费马大定理

便是这样一个经典案例。

17世纪， 皮埃尔·德·费马 （Pierre de Fermat）提出了费马大定理，声称 当n大于2时，方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ没有正整数解 。

法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）。

数百年来，许多杰出的数学家在解决费马大定理的过程上做出了贡献。

费马本人成功证明了n=4的情况， 莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler）证明了n=3的情况下， 苏菲·姬曼 （Sophie Germain）则为无穷多个素数指数提供了第一个一般性的结果。

恩斯特·库默尔 （Ernst Kummer）的研究进一步揭示了代数数论中的几个基本概念，如理想数和唯一因子分解定理。

接下来的356年内，没人能够证明这一理论的整体情况。

费马大定理因其极高的难度而闻名，众多不正确的证明一一浮出水面，甚至被吉尼斯世界纪录称为“最难的数学问题”。

最终，20世纪90年代，数学家 安德鲁·怀尔斯 （Andrew Wiles）提出了解决费马大定理的最终方案，为这一悬而未解的数学问题划上了完美的句号。

英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）。

1993年6月，怀尔斯在剑桥大学的艾萨克·牛顿研究所进行了三场重要演讲。

6月23日，最后一场演讲中，他详细阐述了他的费马大定理的解法，数学界为之震动。

一个连接不同领域的桥梁
历史证明，许多数学领域的重大突破往往通过看似不相关的学科之间的连接而得以实现。

这样的联系使得数学家们能够将问题从一个领域转向另一个领域，以获取新的工具、技术和见解。

怀尔斯的证明亦不例外，他的工作不仅解决了一个长期稀放的问题，更在两个重要但看似截然不同的数学领域间架起了桥梁。

怀尔斯的证明与 数论

中的 椭圆曲线

和 模形式

息息相关。

椭圆曲线既非椭圆也非曲线，实际上是用两个变量构成的三次方程（y² = ax³ - bx + c）所定义的。

这属于 尼尔斯·亨利克·阿贝尔 （Niels Henrik Abel）提出的椭圆函数的自然范围。

椭圆曲线的图案。

模形式是定义在复平面上上半部分的解析函数，其特殊之处在于它们高度对称，并且可以通过模曲线反映出来的形状表示。

模形式的对称性体现在圆盘的变换当中。

在20世纪五十、六十年代， 志村五郎 （Goro Shimura）、 谷山丰 （Yutaka Taniyama）以及 安德烈·韦伊 （André Weil）提出了有理数范围内定义的每个椭圆曲线都可以视为模的这一观点，这就是所谓的 模性质猜想 ，即 谷山-志村猜想 ，把椭圆曲线与模形式联系在了一起。

一个证明
模性质猜想的成立看似与xⁿ + yⁿ = zⁿ这类方程没有任何关联。

但到20世纪80年代，越来越多的研究揭示了模性质猜想与费马大定理之间意想不到的关系， 证明费马大定理的关键在于证明谷山-志村猜想。

1985年， 格哈德·弗雷 （Gerhard Frey）意识到，如果费马大定理不成立，即当n>2时，方程xⁿ + yⁿ = zⁿ存在正整数解，那么这个解将产生一种特殊的椭圆曲线。

随后在1986年， 肯尼斯·瑞贝 （Kenneth Ribet）证明了这种椭圆曲线在模性质猜想成立的情况下不可能存在。

他们的研究表明，若数学家们能够证明模性质猜想，费马大定理也必将得到证明。

怀尔斯花费了七年时间努力证明这个复杂的猜想，并获得了令人瞩目的进展。

在1993年，他的成果距离证明模性质猜想的一个特例仅一步之遥，而这个特例恰恰就是证明费马大定理所需的全部内容。

如前所述，1993年6月，他向公众披露了他的成果。

尽管随后的同行评审发现怀尔斯的证明存在漏洞，但怀尔斯与他昔日的学生 Richard Taylor

共同努力，花费一年弥补了这一漏洞，从而强化了费马大定理作为数学定理的地位。

持久影响
费马大定理及其解法对数学界产生了持久的抗力。

2001年，包括Taylor在内的一组研究人员依照怀尔斯的研究，给出了模性质猜想的完整证明。

这个完整的椭圆曲线与模形式之间的桥梁，成为理解数学的基石。

怀尔斯的工作被视为“数论的新时代”的开端，对现代数学的各个方面至关重要，包括广泛运用的加密技术和被称为 朗兰兹纲领

的大型研究项目。

朗兰兹纲领旨在在数学的两个基本领域——代数数论与调和分析之间，构建桥梁。

尽管怀尔斯大部分时间是独立研究，但他最终还需要同事的帮助来识别和修复首次证明中的漏洞。

今天的数学越来越是一种协作努力，就如完成模性质猜想所需的证明时所表现出的那样。

这些问题既复杂又庞大，往往需要多种专业知识的结合。