最美的数学证明，费马二平方定理，一眼能看懂的一定是天才

费马二平方定理是数论中的一个经典结果，它断言：任何一个形式为4k+1的奇质数都可以表示为两个平方数之和。这个定理最早由法国数学家费马在1640年提出，但直到1747年才由瑞士数学家欧拉给出完整的证明。

欧拉的证明方法分为五个步骤，运用了无穷递降法等技巧。例如，在证明形为4k+1的素数是平方分解数时，欧拉巧妙地利用了费马小定理。他指出，对于形如4k+1的素数p，存在一个数a使得a^2模p等于-1。通过构造a^2和p的倍数，欧拉证明了p可以表示为两个平方数之和。这个证明虽然严谨，但略显复杂，难以称之为“一眼能看懂”。

相比之下，德国数学家唐·扎吉尔在1990年提出的“一句话证明”则展现了惊人的简洁和美感。扎吉尔的证明基于罗杰·希斯-布朗的早期工作，核心思想是构造一个特殊的集合和一个对合函数。具体来说，考虑形如4k+1的素数p，以及集合S={(x,y,z)∈N^3|x^2+4yz=p}。扎吉尔定义了一个对合函数f:S→S，其中f(x,y,z)=(x+2z,y-z,z)（如果y>z），或者f(x,y,z)=(x,2y-x,z-y)（如果y≤z）。

这个对合函数的巧妙之处在于：除了一个特殊的不动点外，集合S中的每个元素都会被映射到另一个不同的元素。这个不动点恰好对应于p可以表示为两个平方数之和的形式。通过简单的计数论证，扎吉尔证明了这个不动点的存在性，从而完成了定理的证明。

扎吉尔的证明之所以被认为是“一眼能看懂”的，主要有以下几个原因：

首先，它采用了直观的几何图像——“风车”来描述问题。正如一位数学爱好者所言：“费马二平方定理的证明采取了一个不同的方法：它将p分解成一个平方数和四个矩形的组合，形成一个类似于‘风车’的图形。”

其次，证明的核心是一个简单的对合函数，其定义和性质都非常直观。即使是非专业人士，也能轻松理解这个函数的作用。

最后，整个证明过程几乎不需要复杂的计算或深奥的数学知识。正如扎吉尔自己所说：“这个证明只用到了初等数学，没有任何高深的理论。”

扎吉尔的证明不仅简洁优美，还体现了数学证明的深层美学价值。正如《Proofs from THE BOOK》一书中所言：“数学中的美丽证明通常指的是那些不仅正确、简洁和优雅，而且能够揭示数学不同领域之间意想不到联系的证明。”

费马二平方定理及其证明对数学发展产生了深远影响。它不仅推动了数论的发展，还启发了数学家们探索更广泛的数学结构，如高斯整数等。更重要的是，这个定理及其证明展示了数学的内在美，激发了无数数学爱好者对数学的热爱和追求。

正如一位数学家所说：“数学之美在于它能够用简洁的语言描述复杂的现实，用抽象的符号揭示深刻的真理。”费马二平方定理及其证明正是这种数学之美的绝佳体现。